Ngữ nghĩa Logic mô tả

Ngữ nghĩa của lôgic mô tả được định nghĩa bằng cách giải nghĩa các khái niệm như là các tập hợp gồm các cá thể, và các vai trò như là các tập gồm các cặp cá thể. Các cá thể đó thường được cho là thuộc một miền xác định cho trước. Sau đó, ngữ nghĩa của các khái niệm và vai trò không nguyên tử được định nghĩa theo các khái niệm và vai trò nguyên tử. Điều này được thực hiện bằng một định nghĩa đệ quy tương tự như trong cú pháp.

Ví dụ, cho trước miền xác định là một tập hợp. Trước hết, một cách giải nghĩa các khái niệm-AL được định nghĩa qua các khái niệm và vai trò nguyên tử như sau:

  • Một khái niệm nguyên tử được giải nghĩa là một tập các cá thể - một tập con của miền xác định.
  • Mỗi vai trò nguyên tử được giải nghĩa là một tập các cặp cá thể thuộc miền xác định, nghĩa là một quan hệ nhị phân trên miền xác định. Trong trường hợp đó, nếu một cá thể x có quan hệ với y qua một vai trò R, thì y được gọi là một R-successor của x.

Tiếp theo, cách giải nghĩa này được mở rộng tới khái niệm và vai trò không nguyên tử, bằng cách sử dụng các tạo tử. Việc này được thực hiện như sau.

  • Khái niệm đỉnh được giải nghĩa là toàn bộ miền xác định.
  • Khái niệm đáy được giải nghĩa là tập rỗng.
  • ¬C được giải nghĩa là tập của mọi cá thể trong miền xác định mà không thuộc về giải nghĩa của C.
  • Giao của hai khái niệm C và D được giải nghĩa là tập hợp giao, nghĩa là tập hợp gồm tất cả các cá thể trong miền xác định mà thuộc về cả giải nghĩa của C và giải nghĩa của D.
  • Hạn chế giá trị ∀R.C được giải nghĩa là tập gồm mọi cá thể trong miền xác định mà tất cả các R-successor của chúng (nếu có) đều nằm trong giải nghĩa của C.
  • Hạn chế tồn tại ∃ R . ⊤ {\displaystyle \exists R.\top } được giải nghĩa là tập gồm mọi cá thể trong miền xác định mà cá thể đó có ít nhất một R-successor.

Do đó, theo cách giải nghĩa các khái niệm và vai trò như trên, nếu P được giải nghĩa là tập tất cả mọi người và F được giải nghĩa là tập tất cả phụ nữ, thì tập tất cả những người không phải phụ nữ có thể được biểu diễn bằng khái niệm

P ⊓ ¬ F {\displaystyle P\sqcap \neg F}